Question

①一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形长宽为多少时，菜园面积最大，最大面积为多少？
②关于x的不等式x²+ax-2＞0在区间[1，5]上有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：基本不等式,一元二次不等式的解法

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：①设这个矩形长宽分别为x，y，则2（x+y）=36，即x+y=18，（x，y＞0）．利用基本不等式的性质可得矩形的面积S=xy≤(

x+y

2

)2．
②关于x的不等式x²+ax-2＞0在区间[1，5]上有解?a＞

2-x2

x

=

2

x

-x恒成立，x∈[1，5]．?a＞(

2

x

-x)max，x∈[1，5]．利用函数的单调性即可得出．

解答： 解：①设这个矩形长宽分别为x，y，则2（x+y）=36，即x+y=18，（x，y＞0）．
∴矩形的面积S=xy≤(

x+y

2

)2=81，当且仅当x=y=9时取等号．
∴这个矩形长宽都为9时，菜园面积最大，最大面积为81m²．
②∵关于x的不等式x²+ax-2＞0在区间[1，5]上有解?a＞

2-x2

x

=

2

x

-x恒成立，x∈[1，5]．
?a＞(

2

x

-x)max，x∈[1，5]．
函数f（x）=

2

x

-x在x∈[1，5]上单调递减，当x=1时，函数f（x）取得最大值1．
∴a＞1．
∴实数a的取值范围是a＞1．

点评：本题考查了基本不等式的性质、函数的单调性、矩形的面积，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．