Question

14．已知函数f（x）是R上的奇函数，且在（0，+∞）上有f'（x）＞0，若f（-1）=0，那么关于x的不等式xf（x）＜0的解集是（-1，0）∪（0，1）．

Answer 1

分析 根据题意，由导数与函数单调性的关系，可得函数f（x）在（0，+∞）为增函数，结合函数的奇偶性可得f（x）在（-∞，0）上也为增函数，且f（1）=-f（-1）=0；由不等式的性质可得xf（x）＜0⇒$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜0=f（1）}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＞0=f（-1）}\end{array}\right.$，解可得x的取值范围，即可得答案．

解答 解：根据题意，函数f（x）在（0，+∞）上有f'（x）＞0，则函数在（0，+∞）为增函数，
又由函数f（x）是R上的奇函数，则函数f（x）在（-∞，0）上也为增函数；
且f（1）=-f（-1）=0
当x＞0时，xf（x）＜0⇒$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜0=f（1）}\end{array}\right.$，则有0＜x＜1，即（0，1），
当x＜0时，xf（x）＜0⇒$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＞0=f（-1）}\end{array}\right.$，则有-1＜x＜0，即（-1，0），
综合可得：xf（x）＜0的解集为：（-1，0）∪（0，1）；
故答案为：（-1，0）∪（0，1）．

点评 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数的导数与单调性的关系，关键是利用函数奇偶性的性质进行分类讨论．