Question

2．焦点在x轴上的双曲线C₁的离心率为e₁，焦点在y轴上的双曲线C₂的离心率为e₂，已知C₁与C₂具有相同的渐近线，当e₁²+4e₂²取最小值时，e₁的值为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 不妨设C₁：$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{{b}_{1}}^{2}}=1$（a₁＞0，b₁＞0），C₂：$\frac{{y}^{2}}{{{a}_{2}}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{{b}_{2}}^{2}}=1$（a₂＞0，b₂＞0）．由题意可得a₁a₂=b₁b₂，分别写出${{e}_{1}}^{2}，{{e}_{2}}^{2}$，代入e₁²+4e₂²，整理后利用基本不等式求得e₁²+4e₂²取最小值，并得到等号成立的条件，由a₁a₂=b₁b₂联立求得$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$，则e₁的值可求．

解答 解：如图，不妨设C₁：$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{{b}_{1}}^{2}}=1$（a₁＞0，b₁＞0），
C₂：$\frac{{y}^{2}}{{{a}_{2}}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{{b}_{2}}^{2}}=1$（a₂＞0，b₂＞0）．
则C₁的渐近线方程为$y=±\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}x$，C₂的渐近线方程为$y=±\frac{{a}_{2}}{{b}_{2}}x$，
∵C₁与C₂具有相同的渐近线，∴$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}=\frac{{a}_{2}}{{b}_{2}}$，即a₁a₂=b₁b₂．
${{e}_{1}}^{2}=\frac{{{c}_{1}}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}=\frac{{{a}_{1}}^{2}+{{b}_{1}}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}=1+\frac{{{b}_{1}}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}$，${{e}_{2}}^{2}=\frac{{{c}_{2}}^{2}}{{{a}_{2}}^{2}}=\frac{{{a}_{2}}^{2}+{{b}_{2}}^{2}}{{{a}_{2}}^{2}}$=$1+\frac{{{b}_{2}}^{2}}{{{a}_{2}}^{2}}$．
∴e₁²+4e₂²=$1+\frac{{{b}_{1}}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}+4+\frac{4{{b}_{2}}^{2}}{{{a}_{2}}^{2}}$=$5+\frac{{{b}_{1}}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}+\frac{4{{b}_{2}}^{2}}{{{a}_{2}}^{2}}$$≥5+2\sqrt{\frac{4{{b}_{1}}^{2}{{b}_{2}}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}{{a}_{2}}^{2}}}=9$．
当且仅当$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}=2\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$时上式等号成立．
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}=\frac{{a}_{2}}{{b}_{2}}}\\{\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}=2\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}}\end{array}\right.$，解得$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}=\sqrt{2}$．
∴${e}_{1}=\sqrt{1+\frac{{{b}_{1}}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}}=\sqrt{1+2}=\sqrt{3}$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的简单性质，考查利用基本不等式求最值，属中档题．