Question

3．已知递增的等差数列{a_n}，首项a₁=2，S_n为其前n项和，且2S₁，2S₂，3S₃成等比数列．
（I）求{a_n}的通项公式；
（II）设${b_n}=\frac{4}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，若数列{b_n}的前n项和为T_n，且${T_n}＜\frac{m}{5}$（m为正整数）恒成立，求m的最小值．

Answer 1

分析 （I）设递增的等差数列{a_n}的公差为d＞0，首项a₁=2，S_n为其前n项和，且2S₁，2S₂，3S₃成等比数列．可得$（2{S}_{2}）^{2}$=2S₁•3S₃，即4（4+d）²=4×3$（6+\frac{3×2}{2}d）$，d＞0，解得d．
（II）${b_n}=\frac{4}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，可得${T_n}=1-\frac{1}{n+1}$，因此$\frac{m}{5}$＞1-$\frac{1}{n+1}$恒成立，解得m的最小值．

解答 解：（I）设递增的等差数列{a_n}的公差为d＞0，
∵首项a₁=2，S_n为其前n项和，且2S₁，2S₂，3S₃成等比数列．
∴$（2{S}_{2}）^{2}$=2S₁•3S₃，即4（4+d）²=4×3$（6+\frac{3×2}{2}d）$，d＞0，解得d=2，
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
（II）∵${b_n}=\frac{4}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴T_n=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=1-$\frac{1}{n+1}$．
∴T_n=1-$\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{m}{5}$＞1-$\frac{1}{n+1}$恒成立，∴$\frac{m}{5}≥$1，即m≥5．
即m的最小值是5．

点评 本题考查等差数列与等比数列的通项公式、裂项求和方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．