Question

5．设p：实数x满足x²-4ax+3a²≤0（a＞0），q：实数x满足$\frac{x-3}{x-2}＜0$
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，x²-4x+3≤0，解得1≤x≤3，由$\frac{x-3}{x-2}＜0$，解得2＜x＜3，根据p∧q为真，即可得出．
（2）若p是q的必要不充分条件，则q⇒p且p⇒q．设A={x|p（x）}，B={x|q（x）}，则A?B，解出即可得出．

解答 解：（1）当a=1时，x²-4x+3≤0，解得1≤x≤3，即p为真时，实数x的取值范围为1≤x≤3．
由$\frac{x-3}{x-2}＜0$，解得2＜x＜3，即q为真时，实数x的取值范围为2＜x＜3．
若p∧q为真，则$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤3}\\{2＜x＜3}\end{array}\right.$，解得实数x的取值范围为（2，3）．
（2）若p是q的必要不充分条件，则q⇒p且p⇒q．
设A={x|p（x）}，B={x|q（x）}，则A?B，又B=（2，3）．
由x²-4ax+3a²≤0，得（x-3a）（x-a）≤0，则A=[a，3a]，有$\left\{\begin{array}{l}a≤2\\ 3≤3a\end{array}\right.$，解得1≤a≤2
因此a的取值范围为[1，2]．

点评 本题考查了不等式的解法、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．