Question

4．若不等式x²+ax+2≥0对一切x∈$（{0，\frac{1}{2}}]$成立，则a的最小值为（　　）

• A． $-\frac{9}{2}$
• B． -2
• C． -$\frac{5}{2}$
• D． -3

Answer 1

分析 命题等价于a≥-x-$\frac{2}{x}$对于一切x∈（0，$\frac{1}{2}$]成立；设y=-x-$\frac{2}{x}$，x∈（0，$\frac{1}{2}$]，利用导数判断y在区间（0，$\frac{1}{2}$]上是增函数，求得y的最大值，从而得出a的最小值．

解答 解：不等式x²+ax+2≥0对一切x∈$（{0，\frac{1}{2}}]$成立，
等价于a≥-x-$\frac{2}{x}$对于一切x∈（0，$\frac{1}{2}$]成立；
设y=-x-$\frac{2}{x}$，x∈（0，$\frac{1}{2}$]，
∵y′=1+$\frac{2}{{x}^{2}}$＞0，
∴y在区间（0，$\frac{1}{2}$]上是增函数，
∴y=-x-$\frac{2}{x}$≤-$\frac{1}{2}$-$\frac{2}{\frac{1}{2}}$=-$\frac{9}{2}$，
∴a≥-$\frac{9}{2}$；
∴a的最小值为-$\frac{9}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了不等式的应用以及函数的图象与性质的应用问题，是中档题．