Question

甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为

1

2

，乙、丙做对的概率分别为m和n（m＞n），且三位学生是否做对相互独立．记ξ为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	1 4	a	b	1 24

（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）记事件E={函数f（x）=-2x²+3ξx+1在区间[-1，1]上不单调}，求P（E）；
（Ⅲ）令λ=12E（ξ）-10，试计算

∫

λ -λ

（1-2|x|）dx的值．

Answer 1

考点：离散型随机变量及其分布列,定积分,离散型随机变量的期望与方差

专题：综合题,概率与统计

分析：（Ⅰ）设事件A={甲做对}，事件B={乙做对}，事件C={丙做对}，由题意知，P(A)=

1

2

，P(B)=m，P(C)=n，利用P（ξ=0）、P（ξ=3），建立方程，即可求m，n的值；
（Ⅱ）根据函数f（x）=-2x²+3ξx+1在区间[-1，1]上不单调，可得对称轴x=

3

4

ξ∈(-1，1)⇒-

4

3

＜ξ＜

4

3

，
由此可求P（E）；
（Ⅲ）由λ=12E（ξ）-10，求出λ的值，再计算

∫

λ -λ

（1-2|x|）dx的值．

解答： 解：设事件A={甲做对}，事件B={乙做对}，事件C={丙做对}，
由题意知，P(A)=

1

2

，P(B)=m，P(C)=n．
（Ⅰ） 由题意知P(ξ=0)=P(

.

A

.

B

.

C

)=

1

2

(1-m)(1-n)=

1

4

，P(ξ=3)=P(ABC)=

1

2

mn=

1

24

，
整理得：mn=

1

12

，m+n=

7

12

．
由m＞n，解得m=

1

3

，n=

1

4

．…（4分）
（Ⅱ）由题意知a=P(ξ=1)=P(A

.

B

.

C

)+P(

.

A

B

.

C

)+P(

.

A

.

B

C)=

1

2

(1-m)(1-n)+

1

2

m(1-n)+

1

2

(1-m)n=

11

24

，…（5分）
∵函数f（x）=-2x²+3ξx+1在区间[-1，1]上不单调，
∴对称轴x=

3

4

ξ∈(-1，1)⇒-

4

3

＜ξ＜

4

3

，
∴ξ=0，或ξ=1…（7分）
∴P（E）=P（ξ=0）+P（ξ=1）=

1

4

+

11

24

=

17

24

…（8分）
（Ⅲ）b=P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=

1

4

，
∴E(ξ)=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+2×P(ξ=2)+3×P(ξ=3)=

13

12

…（10分）
∴λ=12E（ξ）-10=3
故

∫

λ -λ

(1-2|x|)dx=

∫

3 -3

(1-2|x|)dx=

∫

0 -3

(1+2x)dx+

∫

3 0

(1-2x)dx=(x+x2)

|

0 -3

+(x-x2)

|

3 0

=-12…（12分）

点评：本题考查概率的计算，考查定积分知识，考查相互独立事件的概率，考查学生的计算能力，属于中档题．