Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底边边长为

2

．
（1）设侧棱长为1，计算

AB

，

BC

；
（2）设

AB1

与

BC1

的夹角为

π

3

，求|

BB1

|．

Answer 1

考点：空间向量的数量积运算

专题：空间向量及应用

分析：（1）以A为原点，AC为y轴，AA₁o z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出

AB

，

BC

．
（2）设侧棱长为h，h＞0，由已知利用向量法能求出|

BB1

|=h=2．

解答： 解：（1）以A为原点，AC为y轴，AA₁o z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（

6

2

，

2

2

，0），C（0，

2

，0），
∴

AB

=（

6

2

，

2

2

，0），

BC

=（-

6

2

，

2

2

，0）．
（2）设侧棱长为h，h＞0，
则B₁（

6

2

，

2

2

，h），C1(0，

2

，h)，
∴

AB1

=（

6

2

，

2

2

，h），

BC1

=（-

6

2

，

2

2

，h），
∵

AB1

与

BC1

的夹角为

π

3

，
∴cos60°=|cos＜

AB1

，

BC1

＞|=|

- 3 2 + 1 2 +h2

3 2 + 1 2 +h2 • 3 2 + 1 2 +h2

|=

1

2

，
解得h=2，
∴|

BB1

|=h=2．

点评：本题考查向量的求法，考查向量的模的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．