Question

已知直线AB过抛物线y²=4x的焦点F，交抛物线于A、B两点，点A在x轴的上方，且弦AB的中点为C（2，m），求弦AB的长和m的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由抛物线y²=4x，可得焦点F（1，0）．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由

y

2 1

=4x1，

y

2 2

=4x₂．可得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），解得m=

2

．可得直线l的方程为y=

2

（x-1）．与抛物线方程联立可得x₁+x₂，利用焦点弦长公式即可得出．

解答： 解：由抛物线y²=4x，可得焦点F（1，0）．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则kAB=

m-0

2-1

=

y2-y1

x2-x1

，即

y2-y1

x2-x1

=m＞0，
y₁+y₂=2m．
由

y

2 1

=4x1，

y

2 2

=4x₂．
可得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
∴2m•m=4，解得m=

2

．
∴直线l的方程为y=

2

（x-1）．
联立

y= 2 (x-1) y2=4x

，化为x²-4x+1=0，
∴x₁+x₂=4．
∴|AB|=x₁+x₂+p=4+2=6．

点评：本题考查了直线与抛物线相交弦长问题、中点坐标公式、斜率计算公式，考查了焦点弦长公式、“点差法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．