Question

17．设f（x）=x²+ax+2（a∈R），若{y|y=f（f（x））}={y|y=f（x）}，则实数a的取值范围是（-∞，-2]∪[4，+∞）．

Answer 1

分析 由两函数值域相同可知f（x）的值域里含有元素-$\frac{a}{2}$，列出不等式解出a即可．

解答 解：f（x）=x²+ax+2=（x+$\frac{a}{2}$）²+2-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
∴当x=-$\frac{a}{2}$时，f（x）取得最小值2-$\frac{{a}^{2}}{4}$．
∵f（f（x））的值域与f（x）的值域相同，
∴-$\frac{a}{2}$∈{y|y=f（x）}，
即-$\frac{a}{2}$≥2-$\frac{{a}^{2}}{4}$，解得a≤-2或a≥4，
故答案为：（-∞，-2]∪[4，+∞）．

点评 本题考查了二次函数的性质，不等式的解法，属于中档题．