Question

20．已知函数f（x）=$\frac{1}{x}$+x．
（1）判断并证明f（x）的奇偶性；
（2）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数；
（3）求函数f（x）在区间[1，3]的最值．

Answer 1

分析 （1）（2）分别利用函数的奇偶性定义和单调性定义进行判断证明；
（3）利用（2）的结论，得到函数区间上的单调性，进一步求得最值．

解答 解：已知函数f（x）=$\frac{1}{x}$+x则函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
（1）函数为奇函数
理由：对任意的x∈{x|x≠0，都有$f（-x）=\frac{1}{（-x）}+（-x）=-（\frac{1}{x}+x）=-f（x）$，故函数f（x）为定义域上的奇函数．
（2）证：对区间（1，+∞）上的任意两个数x₁、x₂，且x₁＜x₂，则$f（{x_1}）-f（{x_2}）=（\frac{1}{x_1}+{x_1}）-（\frac{1}{x_2}+{x_2}）=（{x_1}-{x_2}）\frac{{{x_1}{x_2}-1}}{{{x_1}{x_2}}}$．
由于x₁、x₂∈（1，+∞）且x₁＜x₂，则x₁x₂＞1，x₁x₂-1＞0，x₁-x₂＜0．
从而f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂），
因此函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数．
（3）有（2）知，函数f（x）在区间[1，3]上为增函数，故f_min（x）=f（1）=2，${f_{max}}（x）=f（3）=\frac{10}{3}$．

点评 本题考查了函数的奇偶性、单调性以及最值的求法；熟练运用定义是解答本题的关键．