Question

12．已知焦点在x正半轴上，顶点为坐标系原点的抛物线过点A（1，-2）．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于两点M、N，且△MNO（O为原点）的面积为2$\sqrt{2}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）令抛物线的方程为y²=2px（p＞0）．将点A（1，-2）的坐标代入方程，得p的值，可得抛物线C的方程；
（2）分类讨论，设直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合面积公式，即可求直线l的方程．

解答 解：（1）令抛物线的方程为y²=2px（p＞0）．将点A（1，-2）的坐标代入方程，得p=2，
故所求抛物线的标准方程为y²=4x．（3分）
（2）若直线l⊥x轴，则M（1，2），N（1，-2），此时△MNO的面积为2，不合题设；（4分）
若直线l与x轴不垂直，令M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），l：y=k（x-1）（k≠0），将其代入抛物线方程y²=4x，并整理得k²x²-2（k²+2）x+k²=0，
则x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₁•x₂=1．（7分）
于是|MN|=x₁+x₂+p=$\frac{4+4{k}^{2}}{{k}^{2}}$
又原点到直线l的距离为d=$\frac{|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，（9分）
则2$\sqrt{2}$=$\frac{1}{2}$|MN|•d=$\frac{1}{2}$•$\frac{4+4{k}^{2}}{{k}^{2}}$•$\frac{|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
解得，k=-1或1．
综上，所求直线l的方程为y=-x+1或y=x-1．（12分）

点评 本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．