Question

17．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2-3t}\\{y=-2+4t}\end{array}\right.$（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρcosθ=tanθ．
（Ⅰ）求曲线C₁的普通方程与曲线C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）若C₁与C₂交于A，B两点，点P的极坐标为$（{2\sqrt{2}，-\frac{π}{4}}）$，求$\frac{1}{|PA|}+\frac{1}{|PB|}$的值．

Answer 1

分析 （I）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2-3t}\\{y=-2+4t}\end{array}\right.$（t为参数）．消去参数t可得普通方程．曲线C₂的极坐标方程为ρcosθ=tanθ，可得ρ²cos²θ=ρsinθ，把互化公式代入可得直角坐标方程．
（II）点P的极坐标为$（{2\sqrt{2}，-\frac{π}{4}}）$，可得直角坐标P（2，-2）．直线C₁的参数方程化为标准方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\frac{3}{5}t}\\{y=-2+\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t为参数）．代入方程抛物线方程可得：9t²-80t+150=0，可得$\frac{1}{|PA|}+\frac{1}{|PB|}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}$+$\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{{t}_{1}{t}_{2}}$．

解答 解：（I）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2-3t}\\{y=-2+4t}\end{array}\right.$（t为参数）．消去参数t可得普通方程：4x+3y-2=0．
曲线C₂的极坐标方程为ρcosθ=tanθ，可得ρ²cos²θ=ρsinθ，可得直角坐标方程：x²=y．
（II）点P的极坐标为$（{2\sqrt{2}，-\frac{π}{4}}）$，可得直角坐标P（2，-2）．
直线C₁的参数方程化为标准方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\frac{3}{5}t}\\{y=-2+\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
代入方程：x²=y．可得：9t²-80t+150=0，
∴t₁+t₂=$\frac{80}{9}$，t₁t₂=$\frac{150}{9}$．
∴$\frac{1}{|PA|}+\frac{1}{|PB|}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}$+$\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{{t}_{1}{t}_{2}}$=$\frac{\frac{80}{9}}{\frac{150}{9}}$=$\frac{8}{15}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、参数的应用、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．