Question

12．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．
（I）求直线l的极坐标方程； 
（II）求直线l与曲线C交点的极坐标（ρ＞0，0≤θ＜2π）．

Answer 1

分析 （I）将直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t，化为普通方程，将x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入上述方程可得极坐标方程．
（II）由$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}ρcosθ-ρsinθ-2\sqrt{3}=0}\\{ρ=4cosθ}\end{array}\right.$，得：sin$（2θ-\frac{π}{3}）$=0，又因为ρ＞0，0≤θ＜2π，即可得出．

解答 解：（I）将直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t，化为普通方程$\sqrt{3}$x-y-2$\sqrt{3}$=0，…（2分）
将x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入上述直线方程可得：$\sqrt{3}$ρcosθ-ρsinθ-2$\sqrt{3}$=0．…（4分）
（II）由$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}ρcosθ-ρsinθ-2\sqrt{3}=0}\\{ρ=4cosθ}\end{array}\right.$，…（6分）
得：sin$（2θ-\frac{π}{3}）$=0，又因为ρ＞0，0≤θ＜2π．…（8分）
所以$\left\{\begin{array}{l}{ρ=2}\\{θ=\frac{5π}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{ρ=2\sqrt{3}}\\{θ=\frac{π}{6}}\end{array}\right.$．
所以l与C交点的极坐标分别为：$（2，\frac{5π}{3}）$，$（2\sqrt{3}，\frac{π}{6}）$．…（10分）

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．