Question

7．4月15日我校组织高一年级同学听了一次法制方面的专题报告．为了解同学们对法制知识的掌握情况，学生会对20名学生做了一项调查测试，这20名同学的测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：
（1）求频率分布直方图中a的值，并估计本次测试的中位数和平均成绩；
（2）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；
（3）从成绩在[50，70）的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．

Answer 1

分析 （1）由频率分布直方图中小矩形面积和为1，能求出a，由此能估计本次测试的中位数和平均成绩．
（2）利用频率分布直方图能求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数．
（3）成绩在[50，70）的学生有5人，其中，成绩落在[50，60）中的学生人数有2人，成绩落在[60，70）中的学生人数有3人．从成绩在[50，70）的学生中任选2人，基本事件总数n=${C}_{5}^{2}$=10，此2人的成绩都在[60，70）中包含的基本事件个数m=${C}_{3}^{2}$=3，由此能求出此2人的成绩都在[60，70）中的概率．

解答 解：（1）由频率分布直方图中小矩形面积和为1，
得：（2a×2+3a+7a+6a）×10=1，
解得a=0.005，
∵[50，70）的频率为（2×0.005+3×0.005）×10=0.25，
[70，80）的频率为7×0.005×10=0.35，
∴中位数是70+$\frac{0.5-0.25}{0.35}×10$=$\frac{540}{7}$，
平均数是：55×0.01×10+65×0.015×10+75×0.035×10+85×0.30×10+95×0.010×10=76.5．
（2）成绩落在[50，60）中的学生人数有20×0.01×10=2人，
成绩落在[60，70）中的学生人数有20×0.015×10=3人．
（3）成绩在[50，70）的学生有5人，
其中，成绩落在[50，60）中的学生人数有2人，
成绩落在[60，70）中的学生人数有3人．
从成绩在[50，70）的学生中任选2人，
基本事件总数n=${C}_{5}^{2}$=10，
此2人的成绩都在[60，70）中包含的基本事件个数m=${C}_{3}^{2}$=3，
∴此2人的成绩都在[60，70）中的概率p=$\frac{m}{n}=\frac{3}{10}$．

点评 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．