Question

20．已知复数z₁，z₂满足|z₁-$\overline{{z}_{2}}$|=|1-z₁z₂||，则有（　　）

• A． |z₁|＜0且|z₂|＜1
• B． |z₁|＜1或|z₂|＜1
• C． |z₁|=1且|z₂|=1
• D． |z₁|=1或|z₂|=1

Answer 1

分析 利用$|z{|}^{2}=z•\overline{z}$，结合$|{z}_{1}-\overline{{z}_{2}}{|}^{2}=|1-{z}_{1}{z}_{2}{|}^{2}$，化简出$|{z}_{1}{|}^{2}+|{z}_{2}{|}^{2}-1-|\overline{{z}_{1}}{|}^{2}|\overline{{z}_{2}}{|}^{2}=0$，通过分解因式推出z₁，z₂中至少又一个值为1可得答案．

解答 解：由|z₁-$\overline{{z}_{2}}$|=|1-z₁z₂|，得
$|{z}_{1}-\overline{{z}_{2}}{|}^{2}=|1-{z}_{1}{z}_{2}{|}^{2}$，即$（{z}_{1}-\overline{{z}_{2}}）（\overline{{z}_{1}-\overline{{z}_{2}}}）$=$（1-{z}_{1}{z}_{2}）（\overline{1-{z}_{1}{z}_{2}}）$，
∴$（{z}_{1}-\overline{{z}_{2}}）（\overline{{z}_{1}}-{z}_{2}）$=$（1-{z}_{1}{z}_{2}）（1-\overline{{z}_{1}}\overline{{z}_{2}}）$，
∴$|{z}_{1}{|}^{2}-{z}_{1}{z}_{2}-\overline{{z}_{1}}\overline{{z}_{2}}+|{z}_{2}{|}^{2}$=$1-\overline{{z}_{1}}\overline{{z}_{2}}-{z}_{1}{z}_{2}+|\overrightarrow{{z}_{1}}{|}^{2}|\overline{{z}_{2}}{|}^{2}$．
∴$|{z}_{1}{|}^{2}+|{z}_{2}{|}^{2}-1-|\overline{{z}_{1}}{|}^{2}|\overline{{z}_{2}}{|}^{2}=0$，
即$（|{z}_{1}{|}^{2}-1）（|{z}_{2}{|}^{2}-1）=0$．
得$|{z}_{1}{|}^{2}=1$或$|{z}_{2}{|}^{2}=1$．
∴|z₁|=1或|z₂|=1．
故选：D．

点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．