Question

12．已知函数f（x）的导函数f′（x），满足（x-2）[f′（x）-f（x）]＞0，且f（4-x）=e^4-2xf（x），则下列关于
f（x）的命题正确的是（　　）

• A． f（3）＞e²f（1）
• B． f（3）＜ef（2）
• C． f（4）＜e⁴f（0）
• D． f（4）＜e⁵f（-1）

Answer 1

分析 令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，根据函数的单调性求出g（x）的单调性，再判断g（x）的周期性，从而求出答案．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
则g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
由（x-2）[f′（x）-f（x）]＞0，
得：x＞2时，f′（x）-f（x）＞0，
故x＞2时，g′（x）＞0，g（x）在（2，+∞）递增，
∵f（4-x）=e^4-2xf（x），
∴$\frac{f（4-x）}{{e}^{4-x}}$=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$
∴g（4-x）=g（x），
∴g（3）=g（4-1）=g（1），
∴$\frac{f（3）}{{e}^{3}}$=$\frac{f（1）}{e}$，
∴f（3）=e²f（1）
∵g（3）＞g（2），
∴$\frac{f（3）}{{e}^{3}}$＞$\frac{f（2）}{{e}^{2}}$，
∴f（3）＞ef（2），
∵g（0）=g（4-4）=g（4），
∴$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$=$\frac{f（4）}{{e}^{4}}$，
即e⁴f（0）=f（4），
∵g（-1）=g（4-5）=g（5）＞g（4），
∴$\frac{f（-1）}{{e}^{-1}}$＞$\frac{f（4）}{{e}^{4}}$
∴e⁵f（-1）＞f（4）
故选：D．

点评 本题考查了函数的单调性、周期性，最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．