Question

8．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且$f（1）=\frac{1}{2}$，不等式$f'（x）≤\frac{1}{x}+x$的解集为（0，1]，则不等式$\frac{f（x）-lnx}{x^2}＞\frac{1}{2}$的解集为（　　）

• A． （0，1）
• B． （0，+∞）
• C． （1，+∞）
• D． （0，1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 构造函数g（x）=f（x）-lnx-$\frac{{x}^{2}}{2}$，根据函数的单调性求出g（x）的单调性，从而求出答案．

解答 解：不等式$\frac{f（x）-lnx}{x^2}＞\frac{1}{2}$等价于f（x）＞lnx+$\frac{{x}^{2}}{2}$，
构造函数g（x）=f（x）-lnx-$\frac{{x}^{2}}{2}$，
∴g′（x）=f′（x）-$\frac{1}{x}$-x，
∵不等式$f'（x）≤\frac{1}{x}+x$的解集为（0，1]，
∴g（x）≤0，在（0，1）上恒成立，
∴g′（x）在（0，1]上单调递减，
∴g（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴g（x）_min=g（1）=f（1）-ln1-$\frac{1}{2}$=0，
∴g（x）＞0的解集为（0，1）∪（1，+∞）
故选：D

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．