Question

5．已知函数f（x）=1+lnx-$\frac{k（x-2）}{x}$，其中k为常数．
（1）若k=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若k=5，求f（x）零点的个数；
（3）若k为整数，且当x＞2时，f（x）＞0恒成立，求k的最大值．（参考数据ln8=2.08，ln9=2.20，ln10=2.30）

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而判断函数的零点个数即可；
（3）问题转化为$k＜\frac{x+xlnx}{x-2}$对x∈（2，+∞）恒成立，令$h=\frac{x+xlnx}{x-2}$，根据函数的单调性求出k的最大值即可．

解答 解：（1）当k=0时，f（x）=1+lnx．因为$f'（x）=\frac{1}{x}$，从而f'（1）=1．
又f（1）=1，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程y-1=x-1，
即x-y=0．
（2）当k=5时，$f（x）=lnx+\frac{10}{x}-4$．因为$f'（x）=\frac{x-10}{x^2}$，从而，
当x∈（0，10），f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（10，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．
所以当x=10时，f（x）有极小值．
因f（10）=ln10-3＜0，f（1）=6＞0，
所以f（x）在（1，10）之间有一个零点．
因为$f（{e^4}）=4+\frac{10}{e^4}-4＞0$，
所以f（x）在（10，e⁴）之间有一个零点．
从而f（x）有两个不同的零点．
（3）由题意知，$1+lnx-\frac{k（x-2）}{x}＞0$对x∈（2，+∞）恒成立，
即$k＜\frac{x+xlnx}{x-2}$对x∈（2，+∞）恒成立．
令$h=\frac{x+xlnx}{x-2}$，则$h'（x）=\frac{x-2lnx-4}{{{{（x-2）}^2}}}$．
设v（x）=x-2lnx-4，则$v'（x）=\frac{x-2}{x}$．
当x∈（2，+∞）时，v'（x）＞0，
所以v（x）在（2，+∞）为增函数．
因为v（8）=8-2ln8-4=4-2ln8＜0，v（9）=5-2ln9＞0，
所以存在x₀∈（8，9），v（x₀）=0，即x₀-2lnx₀-4=0．
当x∈（2，x₀）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，
当x∈（x₀，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增．
所以当x=x₀时，h（x）的最小值$h（{x_0}）=\frac{{{x_0}+{x_0}ln{x_0}}}{{{x_0}-2}}$．
因为$ln{x_0}=\frac{{{x_0}-4}}{2}$，所以$h（{x_0}）=\frac{x_0}{2}∈（4，4.5）$．
故所求的整数k的最大值为4．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，函数恒成立问题，是一道综合题．