Question

对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数，且条件②中的区间[a，b]为f（x）的一个“好区间”．
（1）求闭函数y=-x³的“好区间”；
（2）若[1，16]为闭函数f（x）=m

x

+nlog2x的“好区间”，求m、n的值；
（3）判断函数y=k+

x+1

是否为闭函数？若是闭函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据“好区间”的定义即可求闭函数y=-x³的“好区间”；
（2）根据若[1，16]为闭函数f（x）=m

x

+nlog2x的“好区间”，建立方程组关系即可求m、n的值；
（3）根据闭函数的定义，进行验证即可得到结论．

解答： 解：（1）∵y=-x³是减函数，∴

f(a)=b f(b)=a a＜b

⇒

-a3=b -b3=a a＜b

⇒

a=-1 b=1

故闭函数y=-x³的“好区间”是[-1，1]．            …（3分）
（2）①若f（x）是[1，16]上的增函数，则∴

f(1)=1 f(16)=16

⇒

m=1 4m+4n=16

⇒

m=1 n=3

此时f(x)=

x

+3log2x是[1，16]上的增函数，故f(x)=

x

+3log2x符合题意．
②若f（x）是[1，16]上的减函数，则∴

f(1)=16 f(16)=1

⇒

m=16 4m+4n=1

⇒

m=16 n=- 63 4

此时f(x)=16

x

-

63

4

log2x．
因为f(4)=

1

2

＜1=f(16)，所以f(x)=16

x

-

63

4

log2x在区间[1，16]上不是减函数，
故f(x)=16

x

-

63

4

log2x不符合题意．
综上：

m=1 n=3

…（8分）
（3）若y=k+

x+1

是闭函数，则存在区间[a，b]⊆[-1，+∞），满足

f(a)=a f(b)=b

；
故方程f（x）=x在区间[-1，+∞）上有两不相等的实根．
由k+

x+1

=x得x-

x+1

-k=0
令

x+1

=t则x=t²-1，
方程可化为t²-t-k-1=0，且方程有两不相等的非负实根；
令g（t）=t²-t-k-1，
则

g(0)≥0 g( 1 2 )＜0

⇒

-k-1≥0 -k- 5 4 ＜0

⇒-

5

4

＜k≤-1…（14分）

点评：本题主要考查与函数有关的新定义问题，考查学生的理解和应用能力，综合性较强，难度较大．