Question

已知直线l：y=kx-2，M（-2，0），N（-1，0），O为坐标原点，动点Q满足

|QM|

|QN|

=

2

，动点Q的轨迹为曲线C
（1）求曲线C的方程；
（2）若直线l与圆O：x²+y²=2交于不同的两点A，B，当∠AOB=

π

2

时，求k的值；
（3）若k=

1

2

，P是直线l上的动点，过点P作曲线C的两条切线PC、PD，切点为C、D，探究：直线CD是否过定点．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆的位置关系,直线与圆锥曲线的关系

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）设点Q（x，y），依题意知

|QM|

|QN|

=

(x+2)2+y2

(x+1)2+y2

=

2

，整理得曲线C的方程；
（2）利用点到直线的距离公式，结合点O到l的距离d=

2

2

r，可求k的值；
（3）由题意可知：O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上，C、D在圆O：x²+y²=2上可得直线C，D的方程，即可求得直线CD是否过定点．

解答： 解：（1）设点Q（x，y），依题意知

|QM|

|QN|

=

(x+2)2+y2

(x+1)2+y2

=

2

…（2分）
整理得x²+y²=2，∴曲线C的方程为x²+y²=2…（4分）
（2）∵点O为圆心，∠AOB=

π

2

，∴点O到l的距离d=

2

2

r…（6分）
∴

2

k2+1

=

2

2

•

2

⇒k=±

3

…（8分）
（3）由题意可知：O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上，…（9分）
设P(t，

1

2

t-2)，则圆心(

t

2

，

t

4

-1)，半径

t2 4 +( t 4 -1)2

得(x-

t

2

)2+(y-

t

4

+1)2=

t2

4

+(

t

4

-1)2）
即x2-tx+y2-(

1

2

t-2)y=0
又C、D在圆O：x²+y²=2上
∴lCD：tx+(

1

2

t-2)y-2=0即  (x+

y

2

)t-2y-2=0…（12分）
由

x+ y 2 =0 2y+2=0

得 

x= 1 2 y=-1

∴直线CD过定点(

1

2

，-1)…（14分）

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查直线恒过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．