Question

已知实数a、b、c满足条件0≤a+c-2b≤1，且2^a+2^b≤2^1+c，则

2a-2b

2c

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：数形结合,转化思想

分析：由2^a+2^b≤2^1+c，得2^a-c+2^b-c≤2，由0≤a+c-2b≤1得0≤（a-c）-2（b-c）≤1，然后由指数函数的单调性得到1≤2^{（a-c）-2（b-c）}≤2，再令x=2^b-c，y=2^a-c，即可得到x+y≤2，x²≤y≤2x²，x＞0，y＞0，则求

2a-2b

2c

的范围可转化为求目标函数t=y-x的范围．然后利用线性规划知识求解．

解答： 解：由2^a+2^b≤2^1+c，得2^a-c+2^b-c≤2，
由0≤a+c-2b≤1，得0≤（a-c）-2（b-c）≤1，
于是有1≤2^{（a-c）-2（b-c）}≤2，
即1≤

2a-c

22(b-c)

≤2．设x=2^b-c，y=2^a-c，
则有x+y≤2，x²≤y≤2x²，x＞0，y＞0，

2a-2b

2c

=y-x．
在平面直角坐标系xOy中作出点（x，y）所表示的平面区域，并设y-x=t．
如图，

当直线y-x=t与曲线y=x²相切时，t最小．
此时令y′=2x=1，解得x=

1

2

，于是y=

1

4

，
∴t_min=

1

4

-

1

2

=-

1

4

．
当直线过点A时，t最大．
由

y=2x2 x+y=2

，解得A（

-1+ 17

4

，

9- 17

4

），
∴t_max=

9- 17

4

-

-1+ 17

4

=

5- 17

2

．
因此

2a-2b

2c

的取值范围是[-

1

4

，

5- 17

2

]．
故答案为：[-

1

4

，

5- 17

2

]．

点评：本题含三个变量，解题时要注意通过换元减少变量的个数．利用消元、换元等方法进行减元的思想是近年高考填空题中难点和热点，对于层次很好的学生值得关注．该题属难题．