Question

16．如图，四边形ABCD是正方形，四边形ABEG是平行四边形，且平面ABCD⊥平面ABEG，AE⊥AB，EF⊥AG于F，设线段CD、AE的中点分别为P、M．
（Ⅰ）求证：EF⊥平面BCE；
（Ⅱ）求证：MP∥平面BCE；
（Ⅲ）若∠EAF=30°，求三棱锥M-BDP和三棱锥F-BCE的体积之比．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知结合面面垂直的性质可得BC⊥平面ABEG，得到EF⊥BC．再由已知证得EF⊥BE，利用线面垂直的判定可得EF⊥平面BCE；
（Ⅱ）设线段AB的中点为N，连接MN，PN．由三角形中位线定理可得MN∥BE，PN∥BC，再由面面平行的判定得平面MNP∥平面BCE，得MP∥平面BCE；
（Ⅲ）设正方形ABCD的边长为a，连接MB，MD，BD，BP，解三角形可得V_M-BDP，同理可得V_F-BCE，则三棱锥M-BDP和三棱锥F-BCE的体积之比可求．

解答 （Ⅰ）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEG，平面ABCD∩平面ABEG=AB，
由ABCD为正方形，得BC⊥AB，
∴BC⊥平面ABEG，又EF?平面ABEG，
∴EF⊥BC．
又四边形ABEG为平行四边形，EF⊥AG，∴EF⊥BE，
又BE?平面BCE，BC?平面BCE，BC∩BE=B，
∴EF⊥平面BCE；
（Ⅱ）证明：设线段AB的中点为N，连接MN，PN．
∵线段CD、AE的中点分别为P、M，
∴MN∥BE，PN∥BC，则平面MNP∥平面BCE，
故MP∥平面BCE；
（Ⅲ）解：设正方形ABCD的边长为a，连接MB，MD，BD，BP，
∵∠EAF=30°，则EF=$\frac{1}{2}AE$，∠AEB=30°，
∴BE=2AB=2a，
∴${V}_{M-BDP}=\frac{1}{3}{S}_{△BDP}•AM=\frac{1}{3}•\frac{1}{4}{a}^{2}•\frac{1}{2}AE$=$\frac{1}{24}{a}^{2}•AE$．
同理，连接FB，FC，则${V}_{F-BCE}=\frac{1}{3}{S}_{EBC}•EF$=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•a•2a•\frac{1}{2}AE=\frac{1}{6}{a}^{2}•AE$．
∴V_M-BDP：V_F-BCE=1：4．

点评 本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．