Question

20．双曲线$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1与过点（0，-1）的直线相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为-$\frac{2}{3}$，则直线的方程是y=x-1．

Answer 1

分析 设直线方程为y=kx-1代入$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1得（5-2k）x²+4kx-12=0，根据韦达定理及MN的中点的横坐标为-$\frac{2}{3}$，即可求出直线的方程．

解答 解：设直线方程为y=kx-1代入$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1得（5-2k）x²+4kx-12=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{4k}{2k-5}$，
∵MN的中点的横坐标为-$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{4k}{2k-5}$=-$\frac{4}{3}$，解得k=1，
∴直线的方程是y=x-1．
故答案为：y=x-1．

点评 本题主要考查代数方法解决几何问题，同时考查双曲线的标准方程与性质等．