Question

20．已知定点M（1，0）和直线x=-1上的动点N（-1，t），线段MN的垂直平分线交直线y=t于点R，设点R的轨迹为曲线E．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）直线y=kx+b（k≠0）交x轴于点C，交曲线E于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为点P．点C关于y轴的对称点为Q，求证：A，P，Q三点共线．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知：RN=RM，即点R到直线x=-1和点M的距离相等，利用抛物线的定义求曲线E的方程；
（Ⅱ）联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+b\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，消去y，证明k_AP=k_AQ，可得A，P，Q三点共线．

解答 （Ⅰ）解：由题意可知：RN=RM，即点R到直线x=-1和点M的距离相等．
根据抛物线的定义可知：R的轨迹为抛物线，其中M为焦点．
设R的轨迹方程为：y²=2px，$\frac{p}{2}=1$，p=2
所以R的轨迹方程为：y²=4x．…（5分）
（Ⅱ证明：由条件可知$C（-\frac{b}{k}，0）$，则$Q（\frac{b}{k}，0）$．
联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+b\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，消去y得k²x²+（2bk-4）x+b²=0，△=（2bk-4）²-4b²k²=16（1-bk）＞0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂），则P（x₂，-y₂）
${x_1}+{x_2}=\frac{4-2bk}{k^2}$，${x_1}=\frac{{4-2bk-4\sqrt{1-bk}}}{{2{k^2}}}$，${x_2}=\frac{{4-2bk+4\sqrt{1-bk}}}{{2{k^2}}}$．
因为${k_{AP}}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{{k（{x_1}+{x_2}）+2b}}{{\frac{{-8\sqrt{1-bk}}}{{2{k^2}}}}}=\frac{-k}{{\sqrt{1-bk}}}$，${k}_{AQ}=\frac{{y}_{1}-0}{{x}_{1}-\frac{b}{k}}=\frac{k（k{x}_{1}+b）}{k{x}_{1}-b}=\frac{2（1-\sqrt{1-bk}）}{\frac{2[（1-bk）-\sqrt{1-bk}]}{2k}}=\frac{k}{-\sqrt{1-bk}}$
所以k_AP=k_AQ，
所以A，P，Q三点共线．…（13分）

点评 本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．