Question

11．已知集合P={x||x-1|＞2}，S={x|x²-（a+1）x+a＞0}．
（1）若a=2，求集合S；
（2）若a＞1，x∈S是x∈P的必要条件，求实数a的范围．

Answer 1

分析 （1）当a=2时，我们易将S中的条件化为x²-3x+2＞0，解一元二次不等式，即可得到集合S；
（2）解绝对值不等式|x-1|＞2，可以求出集合P，根据x∈S是x∈P的必要条件，我们易判断出集合P与S的包含关系，构造出关于a的不等式，最后讨论结果，即可得到实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=2时，不等式x²-（a+1）x+a＞0即为x²-3x+2＞0
解得x＜1或x＞2
∴S={x|x＜1或x＞2}，
（2）由|x-1|＞2解得x＜-1或x＞3，
∴P={x|x＜-1或x＞3}
由x²-（a+1）x+a＞0即（x-a）（x-1）＞0
∵x∈S是x∈P的必要条件，
∴P⊆S，
当a＞1时，S={x|x＜1或x＞a}
由P⊆S得a≤3，
∴1＜a≤3，
故实数a的取值范围（1，3]．

点评 本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题，必要条件，充分条件与充要条件的判断，其中根据充要条件的集合法解法法则，判断出集合P与S的包含关系，是解答本题的关键．