Question

9．过抛物线y²=x的顶点O作两条互相垂直的弦OA、OB．
（1）求证：直线AB恒过定点；
（2）求弦AB中点N的轨迹方程；
（3）求△ABO面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）设直线OA的方程为y=kx（k≠0），代入抛物线方程，求得交点A，再设出直线OB的方程，可得交点B，求得直线AB的方程，化简整理，再令y=0，可得x=2，即可得证；
（2）由中点坐标公式，运用平方消元，即可得到中点的轨迹方程；
（3）△ABO面积S=$\frac{1}{2}×1×$|$\frac{1}{k}$+k|≥1，可得k=±1时，△AOB的面积取最小值1．

解答 （1）证明：∵依题意可知直线OA的斜率存在且不为0，
∴设直线OA的方程为y=kx（k≠0），
与y²=x联立方程，解得x_A=$\frac{1}{{k}^{2}}$，y_A=$\frac{1}{k}$，
∴A（$\frac{1}{{k}^{2}}$，$\frac{1}{k}$），
同理B（k²，-k），
则AB的斜率为$\frac{k}{1-{k}^{2}}$，
则有直线AB的方程为y+k=$\frac{k}{1-{k}^{2}}$（x-k²），
即为y=$\frac{k}{1-{k}^{2}}$（x-1），
令y=0，解得x=1．
则直线AB恒过定点（1，0）；
（2）解：设AB中点M（x，y），则由中点坐标公式，
得x=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{k}^{2}}$+k²），y=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{k}$-k），
消去参数k，得y²=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$，
即为AB中点的轨迹方程；
（3）解：△ABO面积S=$\frac{1}{2}×1×$|$\frac{1}{k}$+k|≥1，∴k=±1时，△AOB的面积取最小值1．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线和抛物线方程联立，求交点，同时考查两直线垂直的条件：斜率之积为-1，以及直线恒过定点的求法，考查三角形面积的最小值的求法，属于中档题．