Question

15．若α∈（0，π），且cos（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{4}{5}$，则cosα=$\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$．

Answer 1

分析 由同角三角函数基本关系可得sin（α+$\frac{π}{3}$），代入cosα=cos[（α+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{3}$]=$\frac{1}{2}$cos（α+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（α+$\frac{π}{3}$），计算可得．

解答 解：∵α∈（0，π），∴α+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$），
又∵cos（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{4}{5}$＞0，∴α+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$），
∴sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+\frac{π}{3}）}$=$\frac{3}{5}$，
∴cosα=cos[（α+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{3}$]
=$\frac{1}{2}$cos（α+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（α+$\frac{π}{3}$）
=$\frac{1}{2}×\frac{4}{5}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{3}{5}$=$\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$
故答案为：$\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数基本关系，属基础题．