Question

设△ABC的内角∠A，∠B，∠C所对边的长分别为a，b，c，且sinC=2sin（A-B）．
（Ⅰ）证明：tanA=3tanB；
（Ⅱ）若c=2b，求∠A的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦定理

专题：计算题,证明题,三角函数的求值,解三角形

分析：（Ⅰ）运用诱导公式和两角和差的正弦公式，结合同角的商数关系，即可得证；
（Ⅱ）运用正弦定理，结合条件，即可求得A=2B，代入tanA=3tanB，由二倍角的正切公式，可得tanB，进而得到tanA，即可得到A．

解答： （Ⅰ）证明：sinC=2sin（A-B），
即sin（A+B）=2sin（A-B），
即sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB-2cosAsinB，
即sinAcosB=3cosAsinB，
即有tanA=3tanB；
（Ⅱ）解：由正弦定理可得，c=2b即为
sinC=2sinB，
由于sinC=2sin（A-B），
则sinB=sin（A-B），
由A，B为三角形的内角，
则B=A-B，则A=2B，
即有tan2B=3tanB，
解得

2tanB

1-tan2B

=3tanB，
即有tanB=±

3

3

，（负值舍去）．
则有tanA=

3

，
由于A为锐角，
则A=

π

3

．

点评：本题考查三角函数的求值，考查正弦定理的运用，考查诱导公式和两角和差的正弦公式及二倍角的正切公式的运用，考查运算能力，属于基础题．