Question

已知a_n=log_n+1（n+2）（n∈N₊），把使得乘积a₁•a₂•a₃…a_n的整数的数n叫做“穿越数”，并把这些“穿越数”由小到大排序构成的数列记为{b_n}（m∈N₊）
（1）求区间（1，2015）内的所有“穿越数”的和；
（2）证明：

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜

5

6

．

Answer 1

考点：数列的求和,对数函数的图像与性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）a₁×a₂×a₃×…×a_n=log₂3×log₃4×log₄5×…×log_n+1（n+2）=log₂（n+2），从而n=2^k-2，根据题意，b_m＜2015，得2^m+1-2＜2015，由此能求出区间（1，2015）内的所有“穿越数”的和．
（2）

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=

1

2

+

1

23-2

+

1

24-2

+…+

1

2n+1-2

，当n＞2时，由

1

2n+1-2

≤

1

3•2n

，能证明

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜

5

6

．

解答： （1）解：由已知得
a₁×a₂×a₃×…×a_n=log₂3×log₃4×log₄5×…×log_n+1（n+2）=log₂（n+2），…（2分）
要a₁×a₂×a₃×…×a_n为整数，需要log₂（n+2）=k，k∈Z，
∴n=2^k-2，…（3分）
∵n∈N^*，∴k≥2，即b1=22-2=2，b2=23-2=6，…，bm=2m+1-2，
根据题意，b_m＜2015，得2^m+1-2＜2015，
∴2^m+1＜2017，则m≤9．…（4分）
∴区间（1，2015）内的所有“穿越数”的和为：
2²+2³+…+2¹⁰-2×9=4（2⁹-1）-18=2026．…（7分）
（2）证明：

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=

1

2

+

1

23-2

+

1

24-2

+…+

1

2n+1-2

，…（8分）
当n=1时，

1

b1

=

1

2

＜

5

6

成立，
当n=2时，

1

b1

+

1

b2

=

1

2

+

1

6

=

2

3

＜

5

6

成立，…（10分）
当n＞2时，由

1

2n+1-2

=

1

4•2n-1-2

=

1

3•2n-1+2n-1-2

≤

1

3•2n

，…（12分）
∴

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

≤

1

2

+

1

3×2

+

1

3×22

+…+

1

3×2n-1

=

1

2

+

1

3

(1-

1

2n-1

)=

5

6

-

1

2n-1

•

1

3

．…（13分）
又

1

2n-1

＞0，∴

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜

5

6

．…（14分）

点评：本题考查数列的前n项和的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．