Question

某地绿化治理沙漠需要大量用水，第1年的用水量约为100（百吨），第2年的用水量约为120（百吨）．该地政府综合各种因素预测：①每年的用水量会逐年增加；②每年的用水量都不能达到130（百吨）．某校数学兴趣小组想找一个函数y=f（x）来拟合该项目第x（x≥1）年与当年的用水量y（单位：百吨）之间的关系，则函数y=f（x）必须符合预测①：f（x）在[1，+∞）上单调递增；预测②：f（x）＜130对x∈[1，+∞）恒成立．
（1）若f（x）=

m

x

+n，试确定m，n的值，并考察该函数是否符合上述两点预测；
（2）若f（x）=a•b^x+c（b＞0，b≠1），欲使得该函数符合上述两点预测，试确定b的取值范围．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）根据题意可知，点（1，100）和（2，120）均在函数f（x）上，代入即可求得m，n的值，确定函数f（x）=-

40

x

+140，根据反比例函数的性质，即可确定f（x）的单调性，和f（x）的取值范围，对应预测①②，即可判断出答案；
（2）根据题意可知，点（1，100）和（2，120）均在函数f（x）上，代入即可求得a与b的关系，c与b的关系，将a和c都用b来表示，得到f（x）的解析式，要满足预测①，则f′（x）＞0，确定出两种情况，对两种情况分别研究预测②的恒成立问题，即可求得实数b的取值范围．

解答： 解：（1）将（1，100）、（2、120）代入到f（x）=

m

x

+n中，得

100=m+n 120= m 2 +n

，
解得m=-40，n=140，
∵f（x）=-

40

x

+140，
∴f′（x）=

40

x2

＞0，
故f（x）在[1，+∞） 上单调递增，符合预测①；                          
又当x≥4 时，f（x）=-

40

x

+140≥130，
∴此时f（x）不符合预测②；
（2）∵f（x）=a•b^x+c（b＞0，b≠1），
将（1，100）、（2、120）代入到f（x）=a•b^x+c，
∴

100=ab+c 120=ab2+c

，解得a=

20

b(b-1)

，c=100-

2

b-1

，
∴f′（x）=ab^xlnb，要想符合预测①，则f′（x）＞0，
∴alnb＞0，
∴

a＞0 b＞1

或

a＜0 0＜b＜1

，
①当b＞1时，a=

20

b(b-1)

＞0，此时符合预测①，
但由f（x）≥130，解得x≥logb(

3

2

b2-

b

2

)，
即当x≥logb(

3

2

b2-

b

2

)时，f（x）≥130，
∴此时f（x）不符合预测②；
②当0＜b＜1，a=

20

b(b-1)

＜0，此时符合预测①，
又由x≥1，知b^x∈（0，b]，
∴ab^x∈[ab，0），
∴f（x）∈[ab+c，c），
要使得f（x）也符合预测②，则c≤130，
∴100-

20

b-1

≤130，
又0＜b＜1，解得0＜b≤

1

3

．
综上所述，b的取值范围是（0，

1

3

]．

点评：本题主要考查函数模型的选择与应用．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．本题考查了运用函数、导数的知识解决实际问题的能力．对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解．属于中档题．