Question

若函数f（x）=x-1-alnx（a＜0）对任意x₁，x₂∈（0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4|

1

x1

-

1

x2

|，
则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：确定函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，函数y=

1

x

在（0，1]上是减函数，设h（x）=f（x）+

4

x

=x-1-alnx+

4

x

，则|f（x₁）-f（x₂）|≤4|

1

x1

-

1

x2

|，等价于函数h（x）在区间（0，1]上是减函数，从而可求实数a的取值范围．

解答： 解：当a＜0时，f′（x）＞0恒成立，此时，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，
又函数y=

1

x

在（0，1]上是减函数
不妨设0＜x₁≤x₂≤1
则|f（x₁）-f（x₂）|=f（x₂）-f（x₁），
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤4|

1

x1

-

1

x2

|，
即f（x₂）+4×

1

x2

≤f（x₁）+4×

1

x1

设h（x）=f（x）+

4

x

=x-1-alnx+

4

x

，
则|f（x₁）-f（x₂）|≤4|

1

x1

-

1

x2

|，等价于函数h（x）在区间（0，1]上是减函数
∵h'（x）=1-

a

x

-

4

x2

=

x2-ax-4

x2

，∴x²-ax-4≤0在（0，1]上恒成立，
即a≥x-

4

x

在（0，1]上恒成立，即a不小于y=x-

4

x

在（0，1]内的最大值．
而函数y=x-

4

x

在（0，1]是增函数，∴y=x-

4

x

的最大值为-3
∴a≥-3，
又a＜0，∴a∈[-3，0）．
故答案为：[-3，0）．

点评：本题考查函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，求参数的范围，考查转化思想，是一道综合题．