Question

2．已知非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$满足$|{\overrightarrow a}|=|{\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$，则$\overrightarrow a$与$2\overrightarrow a-\overrightarrow b$夹角的余弦值为$\frac{5\sqrt{7}}{14}$．

Answer 1

分析 利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，余弦定理，数形结合求得$\overrightarrow a$与$2\overrightarrow a-\overrightarrow b$夹角的余弦值．

解答 解：非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$满足$|{\overrightarrow a}|=|{\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$，不妨设$|{\overrightarrow a}|=|{\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$=1，
设$\overrightarrow a$与$2\overrightarrow a-\overrightarrow b$夹角为θ，如图所示：
设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，则OA=OB=OC=1，设$\overrightarrow{OD}$=2$\overrightarrow{OA}$=2$\overrightarrow{a}$，则$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，
∠ODB即为θ，△OAC和△OBC都是边长等于1的等边三角形．
利用余弦定理可得BD=$\sqrt{{OD}^{2}{+OB}^{2}-2OA•OB•cos120°}$=$\sqrt{7}$，
cosθ=$\frac{{OD}^{2}{+BD}^{2}{-OB}^{2}}{2OD•BD}$=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$，
故答案为：$\frac{{5\sqrt{7}}}{14}$．

点评 本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，余弦定理的应用，属于中档题．