题目内容
12．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的焦距为$2\sqrt{2}$，F1，F2为其左右焦点，M为椭圆上一点，且∠F1MF2=60°，${S_{△{F_1}M{F_2}}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点，求证：平行四边形OAPB的面积为定值．
分析 （1）由题意可知：$c=\sqrt{2}$，则，$\left\{{\begin{array}{l}{x+y=2a}\\{{x^2}+{y^2}-8=2xycos{{60}°}}\\{\frac{1}{2}xysin{{60}°}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}\end{array}}\right.$，即可求得a的值，则b2=a2-c2=2，即可求得椭圆C的方程；
（2）将直线l的方程代入椭圆方程，由向量的坐标运算，即可求得P点坐标，利用韦达定理，弦长公式即可及点到直线的距离公式求得平行四边形OAPB的面积S=$\sqrt{6}$，即可求证平行四边形OAPB的面积为定值．
解答 解：（1）由题意可知，2c=$2\sqrt{2}$，即$c=\sqrt{2}$，设|MF1|=x，|MF2|=y，
在△F1MF2中，$\left\{{\begin{array}{l}{x+y=2a}\\{{x^2}+{y^2}-8=2xycos{{60}°}}\\{\frac{1}{2}xysin{{60}°}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}\end{array}}\right.$，…（2分）
解得：a2=4，…（4分）
∴b2=a2-c2=2
∴椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．…（5分）
（2）证明：由直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1}\end{array}}\right.$，消y可得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-4=0，…（6分）
△=（4km）2-4（2k2+1）（2m2-4）=8（4k2+2-m2）＞0，则m2＜4k2+2，
则${x_1}+{x_2}=\frac{-4km}{{2{k^2}+1}}，{x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-4}}{{2{k^2}+1}}$，…（8分）
${y_1}+{y_2}=k（{x_1}+{x_2}）+2m=\frac{{-4{k^2}m}}{{2{k^2}+1}}+2m=\frac{2m}{{2{k^2}+1}}$，
而$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=（{x_1}+{x_2}，{y_1}+{y_2}）$，
∴$P（\frac{-4km}{{2{k^2}+1}}，\frac{2m}{{2{k^2}+1}}）$…（9分）
∵点P在椭圆上，
代入椭圆方程：$\frac{1}{4}{（\frac{-4km}{{2{k^2}+1}}{）^2}+\frac{1}{2}（\frac{2m}{{2{k^2}+1}}）^2}=1$，
整理可得：${m^2}={k^2}+\frac{1}{2}$，满足△＞0，…（10分）
又$|AB|=\sqrt{1+{k^2}}|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$=$\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{（\frac{-4km}{{2{k^2}+1}}{）^2}-4\frac{{2{m^2}-4}}{{2{k^2}+1}}}=\sqrt{1+{k^2}}\frac{{\sqrt{8（4{k^2}+2-{m^2}）}}}{{2{k^2}+1}}=\frac{{2\sqrt{3}\sqrt{1+{k^2}}}}{{\sqrt{2{k^2}+1}}}$…（11分）
设O到直线AB的距离为d，则$d=\frac{|m|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{{\sqrt{{k^2}+\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}•\frac{{\sqrt{2{k^2}+1}}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，…（12分）
∴${S_{平行四边形OAPB}}=|AB|•d=\frac{{2\sqrt{3}\sqrt{1+{k^2}}}}{{\sqrt{2{k^2}+1}}}•\frac{{\sqrt{2}}}{2}•\frac{{\sqrt{2{k^2}+1}}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{6}$，
平行四边形OAPB的面积为定值．…（13分）
点评 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，韦达定理，弦长公式，余弦定理及向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．
阅读快车系列答案| A． | x2-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1 | B． | $\frac{{x}^{2}}{16}$-y2=1 | C． | $\frac{{y}^{2}}{16}$-x2=1 | D． | y2-$\frac{{x}^{2}}{16}$=1 |
| A． | {0，2} | B． | {-1，0，1} | C． | {-3，-2，-1，0，1，2} | D． | [0，2] |
| A． | 1 | B． | -4 | C． | $-\frac{1}{2}$ | D． | -1 |
| A． | 充分不必要条件 | B． | 必要不充分条件 | ||
| C． | 充要条件 | D． | 既不充分也不必要条件 |
①y=log2x；
②y=2x；
③y=$\frac{1}{x}$中，
所有的等差源函数的序号是（ ）
| A． | ① | B． | ①② | C． | ②③ | D． | ①③ |