Question

14．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的四个侧面的面积中最大的是（　　）

• A． 3
• B． $2\sqrt{5}$
• C． 6
• D． $3\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由三视图得几何体是四棱锥并画出直观图，由三视图判断出线面的位置关系，并求出几何体的高和侧面的高，分别求出各个侧面的面积，即可得到答案．

解答 解：由三视图得几何体是四棱锥P-ABCD，如图所示：
且PE⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，AB=4、AD=2，
面PDC是等腰三角形，PD=PC=3，
则△PDC的高为$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
所以△PDC的面积为：$\frac{1}{2}$×4×$\sqrt{5}$=2$\sqrt{5}$，
因为PE⊥平面ABCD，所以PE⊥BC，
又CB⊥CD，PE∩CD=E，所以BC⊥面PDC，
即BC⊥PC，同理可证AD⊥PD，
则两个侧面△PAD、△PBC的面积都为：$\frac{1}{2}$×2×3=3，
侧面△PAB的面积为：$\frac{1}{2}$×4×$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}+{2}^{2}}$=6，
所以四棱锥P-ABCD的四个侧面中面积最大是：6，
故选C．

点评 本题考查由三视图求几何体侧面的面积，由三视图正确复原几何体、判断出几何体的结构特征是解题的关键，考查空间想象能力．