Question

11．手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A，B两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A，B两个型号的手机各5台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：

手机编号	1	2	3	4	5
A型待机时间（h）	120	125	122	124	124
B型待机时间（h）	118	123	127	120	a

已知 A，B两个型号被测试手机待机时间的平均值相等．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）判断A，B两个型号被测试手机待机时间方差的大小（结论不要求证明）；
（Ⅲ）从被测试的手机中随机抽取A，B型号手机各1台，求至少有1台的待机时间超过122小时的概率．
（注：n个数据x₁，x₂，…，x_n的方差s²=$\frac{1}{n}$[（x₁-$\overline{x}$）²+（x₂-$\overline{x}$）²+…+（x_n-$\overline{x}$）²]，其中$\overline{x}$为数据x₁，x₂，…，x_n的平均数）

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，由平均数的计算公式可得$\overline{{x}_{A}}$=120+$\frac{0+5+2+4+4}{5}$=123（h），$\overline{{x}_{B}}$=120+$\frac{（-2）+3+7+0+（a-120）}{5}$，又由题意，$\overline{{x}_{A}}$=$\overline{{x}_{B}}$，计算可得a的值，
（Ⅱ）根据题意，直观分析两组数据的波动大小，即可得答案，
（Ⅲ）根据题意，设A型号手机为A、B、C、D、E；B型号手机为1、2、3、4、5；“至少有1台的待机时间超过122小时”为事件C．用列举法可得从被测试的手机中随机抽取A，B型号手机各1台的取法数目，进而可得C事件包含的情况数目，由古典概型的计算公式，计算可得答案．

解答 解：（Ⅰ）根据题意，$\overline{{x}_{A}}$=120+$\frac{0+5+2+4+4}{5}$=123（h），
$\overline{{x}_{B}}$=120+$\frac{（-2）+3+7+0+（a-120）}{5}$，
又由题意，$\overline{{x}_{A}}$=$\overline{{x}_{B}}$，
解可得，a=127；
（Ⅱ）设A，B两个型号被测试手机的待机时间的方差依次为${{s}_{A}}^{2}$、${{s}_{B}}^{2}$，
结合数据分析可得，B型号的手机数据波动较大，
即有${{s}_{A}}^{2}$＜${{s}_{B}}^{2}$，
（Ⅲ）设A型号手机为A、B、C、D、E；B型号手机为1、2、3、4、5；
“至少有1台的待机时间超过122小时”为事件C．
从被测试的手机中随机抽取A，B型号手机各1台，不同的抽取方法有
（A，1）、（A，2）、（A，3）、（A，4）、（A，5）、
（B，1）、（B，2）、（B，3）、（B，4）、（B，5）、
（C，1）、（C，2）、（C，3）、（C，4）、（C，5）、
（D，1）、（D，2）、（D，3）、（D，4）、（D，5）、
（E，1）、（E，2）、（E，3）、（E，4）、（E，5）、
共25种．
抽取的两台手机待机时间都不超过122小时的选法有：
（A，1），（A，4），（C，1），（C，4），共4种；
则至少有1台的待机时间超过122小时的选法有25-4=21种，
故P（C）=$\frac{21}{25}$；
所以至少有1台的待机时间超过122小时的概率是$\frac{21}{25}$．

点评 本题考查利用列举法计算古典概率，涉及数据的平均数、方差的计算，关键是分析题意，得到数据．