Question

已知直线l：（m-1）x+2my+2=0
（1）求证直线l必经过第四象限；
（2）若直线l不过第三象限，求实数m的取值范围；
（3）求直线l在两坐标轴上截距相等时的直线方程．

Answer 1

考点：直线的截距式方程,确定直线位置的几何要素,直线的斜截式方程

专题：直线与圆

分析：（1）推导出直线l：（m-1）x+2my+2=0恒过定点（2，-1），由此能证明直线l必经过第四象限．
（2）把直线l：（m-1）x+2my+2=0化为斜截式方程，由直线l不过第三象限，得到直线l的斜率不大于0，在y轴上的截距不小于0，由此能求出实数m的取值范围．
（3）分别求出直线l：（m-1）x+2my+2=0的横截距和纵截距，令二者相等，能求出直线l的方程．

解答： （1）证明：∵直线l：（m-1）x+2my+2=0，
∴（x+2y）m+（2-x）=0，
∴

x+2y=0 2-x=0

，解得x=2，y=-1，
∴直线l：（m-1）x+2my+2=0恒过定点（2，-1），
∴直线l必经过第四象限．
（2）解：把直线l：（m-1）x+2my+2=0化为斜截式，得：
y=

1-m

2m

x-

1

m

，
∵直线l不过第三象限，
∴直线l的斜率不大于0，在y轴上的截距不小于0，
即

1-m 2m ≤0 - 1 m ≥0

，解得m＜0．
∴实数m的取值范围是（-∞，0）．
（3）解：直线l：（m-1）x+2my+2=0中，
令x=0，得y=-

1

m

；令y=0，得x=

2

1-m

，
∵直线l在两坐标轴上截距相等，
∴-

1

m

=

2

1-m

，解得m=-1，
∴直线l的方程为：x+y-1=0．

点评：本题考查直线过第四象限的证明，考查直线不过第三象限时实数的取值范围的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．