Question

在△ABC中，

m

=（2cosA，

3

sinA），

n

=（cosA，-2cosA），

m

•

n

=-1．
（1）若a=2

3

，c=2，求S_△ABC．
（2）求

b-2c

acos( π+c 3 )

的值．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数,平面向量数量积的运算,两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值

分析：（1）在△ABC中，由

m

•

n

=-1，求得sin（

π

6

-2A）=-1，可得

π

6

-2A=-

π

2

，从而求得 A的值．再由条件利用正弦定理求得sinC=

1

2

，可得C的值，可得B=π-A-B，从而求得S_△ABC=

1

2

ac•sinB的值．
（2）由正弦定理可得

b-2c

acos( π+c 3 )

=

sinB-2sinC

sinA•cos( π+ π 6 3 )

，结合（1）求得结果．

解答： 解：（1）在△ABC中，∵

m

=（2cosA，

3

sinA），

n

=（cosA，-2cosA），

m

•

n

=-1，
∴2cosA²-2

3

sinAcosA=-1，即 sin（

π

6

-2A）=-1，∴

π

6

-2A=-

π

2

，∴A=

π

3

．
由a=2

3

，c=2，利用正弦定理可得，

a

sinA

=

c

sinC

，即 

2 3

3 2

=

2

sinC

，sinC=

1

2

，∴C=

π

6

．
∴B=π-A-B=

π

2

，∴S_△ABC=

1

2

ac=2

3

．
（2）

b-2c

acos( π+c 3 )

=

sinB-2sinC

sinA•cos( π+ π 6 3 )

=

1-2sin π 6

sin π 6 cos 7π 18

=0．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，正弦定理的应用，三角形内角和公式，属于基础题．