题目内容
已知向量
=（1，7），
=（5，1），
=（2，1），点Q为直线OP上一动点．
（Ⅰ）求|
+
|；
（Ⅱ）当
•
取最小值时，求
的坐标．
| OA |
| OB |
| OP |
（Ⅰ）求|
| OA |
| OB |
（Ⅱ）当
| QA |
| QB |
| OQ |
考点：平面向量数量积的运算,向量的模
专题：平面向量及应用
分析：（Ⅰ）直接根据坐标运算，求解
+
=（6，8），然后，求解|
+
|；
（Ⅱ）设Q（x，y），根据共线，得到x=2y，利用坐标运算，
•
=（x-1）（x-5）+（y-7）（y-1）=5（y-2）2-8，再借助于二次函数知识求解取得最小值时，点Q的坐标即可．
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
（Ⅱ）设Q（x，y），根据共线，得到x=2y，利用坐标运算，
| QA |
| QB |
解答：
解：（Ⅰ）∵向量
=（1，7），
=（5，1），
∴
+
=（6，8），
∴|
+
|=
=10，
∴|
+
|=10．
（Ⅱ）设Q（x，y），点Q为直线OP上一动点，
∴
=λ
，
∴（2，1）=λ（x，y），①
∴x=2y，
∵
=
-
=(x-1，y-7)
=
-
=(x-5，y-1)，
∴
•
=（x-1）（x-5）+（y-7）（y-1）
=（2y-1）（2y-5）+（y-7）（y-1）
=5（y-2）2-8
∴y=2时，
•
取最小值，
此时，x=4，∴Q（4，2）
∴
=(4，2)．
| OA |
| OB |
∴
| OA |
| OB |
∴|
| OA |
| OB |
| 62+82 |
∴|
| OA |
| OB |
（Ⅱ）设Q（x，y），点Q为直线OP上一动点，
∴
| OP |
| OQ |
∴（2，1）=λ（x，y），①
∴x=2y，
∵
| QA |
| OA |
| OQ |
| QB |
| OB |
| OQ |
∴
| QA |
| QB |
=（2y-1）（2y-5）+（y-7）（y-1）
=5（y-2）2-8
∴y=2时，
| QA |
| QB |
此时，x=4，∴Q（4，2）
∴
| OQ |
点评：本题重点考查了向量共线、向量的坐标运算、数量积的坐标运算等知识，属于综合题，理解向量与二次函数的有机结合是解题的关键．
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