Question

已知函数f（x）=|x²-1|，g（x）=x²+ax+2，x∈R．
（Ⅰ）若函数g（x）≤0的解集为[1，2]，求不等式f（x）≤g（x）的解集；
（Ⅱ）若函数h（x）=f（x）+g（x）+2在（0，2）上有两个不同的零点x₁，x₂，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,函数的零点

专题：选作题,不等式

分析：（Ⅰ）利用函数g（x）≤0的解集为[1，2]，求出a，再分类讨论求不等式f（x）≤g（x）的解集；
（Ⅱ）分类讨论，分离参数，即可求实数a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数g（x）≤0的解集为[1，2]，
∴-a=3，∴a=-3，
x²-1＞0时，x²-1≤x²-3x+2，∴x＜-1；
x²-1≤0时，-x²+1≤x²-3x+2，∴-1≤x≤

1

2

或x=1；
∴不等式f（x）≤g（x）的解集为{x|x≤

1

2

或x=1}；
（Ⅱ）函数h（x）=f（x）+g（x）+2=|x²-1|+x²+ax+4=0，
x²-1＞0时，-a=2x+

3

x

；x²-1≤0时，-a=

5

x

，
∵函数h（x）=f（x）+g（x）+2在（0，2）上有两个不同的零点x₁，x₂，
∴由2x+

3

x

≥2

6

，可得-a≥2

6

，
∴a≤-2

6

．

点评：本题考查不等式的解法，考查函数的零点，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．