Question

在数列{a_n}中，a₁=1，且点P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直线x-y+1=0上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若函数f（n）=

1

n+a1

+

1

n+a2

+

1

n+a3

+…+

1

n+an

（n∈N，且n≥2）．求证：f（n）≥

7

12

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）把点P代入直线方程中，可得a_n+1-a_n=1，进而可知数列{a_n}是以1为首项、公差的等差数列，根据等差数列的通项公式即可求得a_n．
（2）根据（1）中求得的数列{a_n}的通项公式代入f（n）和f（n+1），可求得f（n+1）-f（n）＞0，进而推断所以f（n）是单调递增，可知f（2）是函数f（n）的最小值．

解答： 解：（1）因为点P（a_n，a_n+1）在直线x-y+1=0上，
所以a_n-a_n+1+1=0，则a_n+1-a_n=1，
又a₁=1，则数列{a_n}是以1为首项、公差的等差数列，
所以a_n=1+（n-1）•1=n；
证明：（2）由（1）得，f（n）=

1

n+a1

+

1

n+a2

+

1

n+a3

+…+

1

n+an

=

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n

，
所以f（n+1）=

1

n+2

+

1

n+3

+

1

n+4

+…+

1

2n

+

1

2n+1

+

1

2n+2

则f（n+1）-f（n）=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

＞

1

2n+2

+

1

2n+2

-

1

n+1

=0，
所以f（n）是单调递增，
因为n∈N，且n≥2，f（n）的最小值是f（2）=

7

12

，
所以f（n）≥

7

12

．

点评：本题考查等差数列的定义、通项公式，以及作差法判断数列的单调性，属于中档题．