Question

20．如图所示，梯形ABCD两条对角线AC，BD的交点为O，AB=2CD，四边形OBEF为矩形，M为线段AB上一点，AM=2MB．
（Ⅰ）求证：EM∥平面ADF；
（Ⅱ）若EF⊥CF，求证AC⊥BD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）过点O作ON∥AB，交AD于点N，连接MN，FN，证明：EM∥NF，即可证明EM∥平面ADF；
（Ⅱ）证明EF⊥平面ACF，EF⊥AC，即可证明AC⊥BD．

解答 （Ⅰ）证明：过点O作ON∥AB，交AD于点N，连接MN，FN，
∵ON∥AB，AB=2CD，
∴$\frac{ON}{AB}$=$\frac{OD}{BD}$=$\frac{1}{3}$，
∵AM=2MB，
∴ON=BM，∴OBMN是平行四边形，
∵四边形OBEF为矩形，
∴EMNF是平行四边形，
∴EM∥NF，
∵EM?平面ADF，NF?平面ADF，
∴EM∥平面ADF；
（Ⅱ）∵四边形OBEF为矩形，
∴EF⊥OF，
∵EF⊥CF，OF∩CF=F，
∴EF⊥平面ACF，
∴EF⊥AC，
∵EF∥BD，∴AC⊥BD．

点评 本题考查线面平行的判定，考查线面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．