Question

12．设非零向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$夹角是$\frac{2π}{3}$，且$|\overrightarrow a|=|\overrightarrow a+\overrightarrow b|$，则$\frac{|2\overrightarrow a+t\overrightarrow b|}{|\overrightarrow b|}$的最小值是$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由$|\overrightarrow a|=|\overrightarrow a+\overrightarrow b|$可知$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{b}}^{2}$，根据数量积的定义可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|，从而得出|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|，计算$\frac{|2\overrightarrow a+t\overrightarrow b|}{|\overrightarrow b|}$的平方得出关于t的函数，从而得出最小值．

解答 解：∵$|\overrightarrow a|=|\overrightarrow a+\overrightarrow b|$，∴${\overrightarrow{a}}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$，即$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{b}}^{2}$=-$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{b}$|²，
∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|cos$\frac{2π}{3}$=-$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|，
∴-$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{b}$|²=-$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|，即|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|，
∴（$\frac{|2\overrightarrow a+t\overrightarrow b|}{|\overrightarrow b|}$）²=$\frac{4{\overrightarrow{a}}^{2}+4t\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{t}^{2}{\overrightarrow{b}}^{2}}{{\overrightarrow{b}}^{2}}$=t²-2t+4=（t-1）²+3，
∴当t=1时，$\frac{|2\overrightarrow a+t\overrightarrow b|}{|\overrightarrow b|}$取得最小值$\sqrt{3}$．
故答案为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，二次函数的性质，属于中档题．