Question

8．已知变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-y≥-1\\ x+y≤4\\ y≥ax\end{array}\right.$，且目标函数z=3x-2y的最大值为32，负数a=$-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由题意可得-1＜a＜0，再由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数即可求得a值．

解答 解：∵a＜0，且目标函数z=3x-2y有最大值，∴-1＜a＜0．
由约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-y≥-1\\ x+y≤4\\ y≥ax\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y=4}\\{y=ax}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{4}{a+1}$，$\frac{4a}{a+1}$）．
化目标函数z=3x-2y为y=$\frac{3}{2}x-\frac{z}{2}$，
由图可知，当直线y=$\frac{3}{2}x-\frac{z}{2}$过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为$\frac{12}{a+1}-\frac{8a}{a+1}=\frac{12-8a}{a+1}=32$，解得a=$-\frac{1}{2}$．
故答案为：-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．