Question

已知函数f（x）=alnx+

2(1-x)

1+x

（a∈R）定义域为（0，1），则f（x）的图象不可能是（　　）

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

考点：函数的图象

专题：高考数学专题,函数的性质及应用

分析：已知函数f（x）=alnx+

2(1-x)

1+x

（a∈R），在函数式中含有参数，所以本题在定义域内对参数的讨论是本题的重点，可以对参数a分以下几种情况进行讨论①a=0②a＜0③a＞0根据不同的情况进行具体分析

解答： 解：已知函数f（x）=alnx+

2(1-x)

1+x

（a∈R），定义域为（0，1），下面把参数分以下三种情况进行讨论：
（1）当a=0 函数f（x）=alnx+

2(1-x)

1+x

转化为f（x）=

2(1-x)

1+x

对定义域（0，1）内的每一个x代入关系式得到，f（x）＞0．故A符合
（2）当a＜0 用单调性来进行讨论 由于函数lnx在定义域（0，1）内为增函数，则alnx为减函数
同时

2(1-x)

1+x

=

4

1+x

-2也为减函数，所以函数f（x）为减函数，故A符合
（3）当a＞0 利用函数的导数来讨论，已知f（x）=alnx+

2(1-x)

1+x

，
则f′（x）=

a

x

+

-4

(1+x)2

=

ax2+(2a-4)x+a

x(1+x)2

，令f′（x）=0 即ax²+（2a-4）x+a=0
则△=16-16a下面再分三种情况讨论
①当a=1，f′（x）=

x2-2x+1

x(1+x)2

=

(x-1)2

x(1+x)2

＞0 则函数f（x）为增函数
故B符合
②当1＞a＞0时ax²+（2a-4）x+a=0存在两根x₁=

(2-a)+2 1-a

a

，x₂=

(2-a)-2 1-a

a

，由于1＞a＞0则 得到1＞x₁＞0，x₂＞1 
当x₁＞x＞0函数图象为增函数  当x₁＜x＜1时为减函数
故C符合
③当a＞1时 f′（x）＞0恒成立
故B符合
通过以上讨论，排除得到答案应D．

点评：本题利用的知识点较多，通过函数的值，函数的单调性，以及导数进行分类讨论难度较大．分类讨论是解决本题的关键