题目内容
已知f（x）=sinx+acosx，
（1）若a=
，求f（x）的最大值及对应的x的值．
（2）若f（
）=0，f（x）=
（0＜x＜π），求tanx的值．
（1）若a=
| 3 |
（2）若f（
| π |
| 4 |
| 1 |
| 5 |
考点：两角和与差的正弦函数,三角函数线
专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质
分析：（1）a=
时，利用两角和的正弦值化简f（x），求出x取何值时f（x）有最大值；
（2）由f（
）=0求出a的值，再由f（x）=
，求出cosx、sinx的值，从而求出tanx的值．
| 3 |
（2）由f（
| π |
| 4 |
| 1 |
| 5 |
解答：
解：（1）a=
时，
f（x）=sinx+
cosx
=2sin（x+
），…（2分）
当sin（x+
）=1，
即x+
=
+2kπ（k∈Z），
∴x=
+2kπ（k∈Z）时，
f（x）有最大值2； …（6分）
（2）∵f（
）=sin
+acos
=
+
a=0，
∴a=-1；…（8分）
∴f（x）=sinx-cosx=
，
∴(sinx-cosx)2=
，
∴sinx•cosx=
，
即（cosx+
）cosx=
；
整理得，25cos2x+5cosx-12=0，
解得，cosx=
，或cosx=-
；
当cosx=
时，sinx=
，
当cosx=-
时，sinx=-
；
又∵x∈（0，π）∴取
；
∴tanx=
．…（14分）
| 3 |
f（x）=sinx+
| 3 |
=2sin（x+
| π |
| 3 |
当sin（x+
| π |
| 3 |
即x+
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
∴x=
| π |
| 6 |
f（x）有最大值2； …（6分）
（2）∵f（
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
=
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
∴a=-1；…（8分）
∴f（x）=sinx-cosx=
| 1 |
| 5 |
∴(sinx-cosx)2=
| 1 |
| 25 |
∴sinx•cosx=
| 12 |
| 25 |
即（cosx+
| 1 |
| 5 |
| 12 |
| 25 |
整理得，25cos2x+5cosx-12=0，
解得，cosx=
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
当cosx=
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
当cosx=-
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
又∵x∈（0，π）∴取
|
∴tanx=
| 4 |
| 3 |
点评：本题考查了三角恒等变换的应用问题以及三角函数求值的问题，也考查了一定的计算能力，是较基础题．
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已知函数f（x）=
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|
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| D、（6，7） |
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|
. |
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B、f
| ||
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