Question

设曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在点（1，1）处的切线方程与x轴的交点的横坐标为x_n，则x₁x₂x₃…x₂₀₁₄的值为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：本题考查的主要知识点是导数的应用，由曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*），求导后，不难得到曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在点（1，1）处的切线方程，及与x轴的交点的横坐标为x_n，分析其特点，易得x₁•x₂•…•x₂₀₁₄的值．

解答： 解：对y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）求导得y′=（n+1）xⁿ，
令x=1得在点（1，1）处的切线的斜率k=n+1，
在点（1，1）处的切线方程为y-1=k（x_n-1）=（n+1）（x_n-1），
不妨设y=0，x_n=

n

n+1

，
则x₁•x₂•…•x₂₀₁₄=

1

2

×

2

3

×…×

2014

2015

=

1

2015

．
故答案为：

1

2015

．

点评：当题目中遇到求曲线C在点A（m，n）点的切线方程时，其处理步骤为：①判断A点是否在C上②求出C对应函数的导函数③求出过A点的切线的斜率④代入点斜式方程，求出直线的方程．