Question

已知函数f（x）=-x²+ax+2，x∈[-5，5]．
（Ⅰ）若函数f（x）不是单调函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）记函数f（x）的最小值为g（a），求g（a）表达式．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）函数f（x）不是单调函数，判断对称轴在已知的区间内，即可求实数a的取值范围；
（Ⅱ）讨论对称轴的位置，然后求解函数f（x）的最小值为g（a），求g（a）表达式．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=-(x-

a

2

)2+

a2

4

+2，其对称轴为x=

a

2

．（2分）
∵函数f（x）不是单调函数，
∴-5＜

a

2

＜5，（5分）
（说明：本步若取等号，扣1分）
∴-10＜a＜10，
∴实数a的取值范围为（-10，10）．（6分）
（Ⅱ）①当

a

2

≤0，即a≤0时，（7分）
∴f（x）_min=f（5）=-25+5a+2=5a-23，即g（a）=5a-23．（9分）
②当

a

2

＞0，即a＞0时，（10分）f（x）_min=f（-5）=-25-5a+2=-5a-23，即g（a）=-5a-23．（12分）
综上所述，g(a)=

5a-23，a≤0 -5a-23，a＞0

．（14分）

点评：本题考查二次函数闭区间上的最值的求法，函数的单调性的应用，考查计算能力以及分类讨论思想的应用．