Question

已知函数f（x）=

( 1 2 )x-2  ，x≤0 x2-2x  ，x＞0

，
（1）在给出的平面直角坐标系中作出函数y=f（x）的图象；
（2）根据图象，写出该函数的单调区间；
（3）若集合A={x∈R|f（x）=a}中恰有三个元素，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据分段函数的解析式，分段画出函数图象即可；
（2）根据函数图象，从左向右呈“上升”趋势的为单调递增，呈“下降”趋势的即为单调递减，从而可得答案；
（3）根据题意，即求f（x）=a有三个不同的根，利用数形结合法，即可求得实数a的取值范围．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=

( 1 2 )x-2  ，x≤0 x2-2x  ，x＞0

，
故在直角坐标系中作出图象如右图所示；
（2）由（1）所作出的图象可知，
从左向右呈“上升”趋势的为单调递增，呈“下降”趋势的即为单调递减，
故f（x）的单调区间为（-∞，0），（0，1），（1，+∞）；
（3）集合A={x∈R|f（x）=a}中恰有三个元素，即为f（x）=a恰有三个不同的根，
故函数y=f（x）的图象与y=a的图象有三个不同的交点，
根据图象可知，实数a的取值范围为-1＜a＜0，
故实数a的取值范围为a∈（-1，0）．

点评：本题考查了分段函数的图象，分段函数的单调性以及分段函数的应用．对于分段函数的问题，一般选用分类讨论和数形结合的思想方法进行求解，根据分段函数的图象很容易得到相关的性质，若选用分类讨论的方法，则关键是讨论需用哪段解析式进行求解．同时也考查了函数的零点问题，函数的零点等价于对应方程的根，等价于函数的图象与x轴交点的横坐标，解题时要注意根据题意合理的选择转化．运用了数形结合的数学思想方法．属于中档题．