Question

20．如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是B₁C₁，CC₁的中点．求：
（1）AB与DD₁所成的角；
（2）AC与B₁D₁所成的角；
（3）AC与BC₁所成的角；
（4）A₁D与EF所成的角．

Answer 1

分析 （1）由DD₁∥AA₁，得∠A₁AB是AB与DD₁所成的角，由此能求出AB与DD₁所成的角．
（2）由B₁D₁∥BD，正方形ABCD中，AC⊥BD，能求出AC与B₁D₁所成的角．
（3）由BC₁∥AD₁，得∠D₁AC是AC与BC₁所成的角，由此能求出AC与BC₁所成的角．
（4）由EF∥B₁C，A₁D∥B₁C，得EF∥A₁D，由此能求出A₁D与EF所成的角．

解答 解：（1）∵DD₁∥AA₁，
∴∠A₁AB是AB与DD₁所成的角，
∵A₁A⊥AB，∴AB与DD₁所成的角为90°．
（2）∵B₁D₁∥BD，正方形ABCD中，AC⊥BD，
∴AC与B₁D₁所成的角为90°．
（3）∵BC₁∥AD₁，
∴∠D₁AC是AC与BC₁所成的角，
∵AD₁=AC=D₁C，
∴∠D₁AC=60°，
∴AC与BC₁所成的角为60°．
（4）∵E、F分别是B₁C₁，CC₁的中点，
∴EF∥B₁C，
∵A₁D∥B₁C，
∴EF∥A₁D，
∴A₁D与EF所成的角为0°．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．